Statistiek: maat, multipliciteit en limieten

Het onderscheid tussen mogelijkheden, gezamenlijke consistentie, kosten en gewicht blijft de kern. Ook de volgende onderdelen kunnen blijven:

• Een effect en de onderzochte modelklasse worden vooraf omschreven.
• Harde voorwaarden worden gezamenlijk gecontroleerd.
• Bij meerdere kostencomponenten laat de Pareto-grens zien welke kandidaten vermijdbare overhead hebben, zonder meteen een wisselkoers tussen componenten te kiezen.
• Een bewezen en bereikte ondergrens is een exact minimum binnen de genoemde klasse.
• Algebraïsche of discrete sluiting kan een verhouding of keuze bepalen zonder kosten te minimaliseren.

Twee formuleringen vragen precisie. Pareto is onafhankelijk van een scalaire weging bij een vastgelegde kostenvector, niet onafhankelijk van de keuze van kosten. En sluiting door voorwaarden is op zichzelf geen bewijs van efficiëntie: een klasse kan één kandidaat overhouden zonder dat een kostencriterium enig werk doet.

Het K3-resultaat blijft het reeds gecontroleerde voorwaardelijke voorbeeld: voor gesloten, gladde, samenhangende, georiënteerde spin-viermanifolds met een Riemannse Einsteinmetriek en niet-nulle signatuur geldt χ ≥ 3|σ|/2 ≥ 24. K3 bereikt de grens. De fysische keuze van deze klasse en van χ als selectiecriterium blijft afzonderlijk nodig. Het bewijs en de bronnen staan in deel VI.

Voor afzonderlijke, fysisch verschillende mogelijkheden met positieve basismaten μᵢ, eindige kosten Sᵢ en ε > 0:

S en ε hebben dezelfde eenheden; Z moet ten opzichte van een vastgelegde referentiemaat dimensieloos zijn. Voor k even zwaar getelde toestanden met dezelfde kosten S* is exact:

bij μᵢ = 1. Twee zulke toestanden tegenover één leveren bij gelijke macro-basismaten een verhouding 2:1. De uitkomst met twee toestanden krijgt kans 2/3, geen zekerheid.

Dit verlaagt de effectieve kosten van de samengenomen uitkomst, niet de fysieke kosten S* van ieder afzonderlijk proces. Er verschijnt geen gratis energie. Als S energie en ε = kBT is, heeft deze correctie de bekende entropische betekenis. In andere toepassingen moet de betekenis van S en ε worden vastgesteld.

Een tweede naam voor dezelfde fysieke mogelijkheid mag het gewicht niet verhogen. Wordt één mogelijkheid met maat μ in zeven beschrijvingen opgesplitst, dan moeten hun maten samen μ blijven. Iedere kopie opnieuw de volle maat geven voegt kunstmatig een factor zeven toe. De rekencontrole bevestigt dat maatbehoudend herlabelen F exact bewaart.

Daarom vervangen we “equivalente realisaties” door: onderscheidbare fysieke realisaties van hetzelfde macro-effect, geteld met een gespecificeerde maat. Beschrijvingsredundantie en ijkequivalentie zijn geen extra fysieke kansen.

Een precieze statistische werkversie is:

Hier is ν de basismaat over macro-uitkomsten en μλ de maat binnen iedere uitkomst. De gezamenlijke maat moet vooraf vastliggen; normaliseer je μλ afzonderlijk, dan moet de verwijderde totale maat in ν terugkomen. Anders verander je de voorspelling.

De formule vereist een eindige, positieve totale normalisatie. Macroklassen moeten een consistente indeling vormen. Overlappende klassen mogen niet ongemerkt dubbel tellen. Bij continue macrovariabelen is een passende ontbinding van de gezamenlijke maat nodig; zomaar over een meetkundig vlak van maat nul integreren is niet voldoende.

Een vrij te kiezen modelparameter is bovendien niet automatisch een toevalsvariabele van de natuur. Een partitiefunctie bij een gegeven λ bewijst geen fysisch ensemble waarin λ varieert. Daarvoor is een extra ensemble, dynamiek of expliciete modelprior nodig. Voor continue λ gaat het om kansdichtheden ten opzichte van ν en kansen van gebieden. Een afzonderlijk punt heeft bij een continue verdeling kans nul; ook de hoogste dichtheid is niet zonder referentiemaat gedefinieerd.

Rekenvoorbeeld: twee gelijke minima tegenover één geven bij gelijke ν een kans 2/3 voor de eerste klasse. Met macro-basismaten 0,1 en 0,9 wordt dat 2/11 ≈ 0,182. De maat doet dus aantoonbaar inhoudelijk werk.

Het fysieke Multiple Point Principle (MPP) betreft de hypothese dat koppelingen verschillende vacuümfasen met gelijke, ongeveer nul zijnde vacuümenergiedichtheid mogelijk maken. Dat is meer dan het tellen van even dure mogelijkheden. Zie Froggatt e.a., The Two Higgs Doublet Model and the Multiple Point Principle.

De conditionele berekening klopt binnen een beperkte klasse. Bij eindig veel discrete toestanden, een gezamenlijke minimale kost S*, positieve maten en een positieve kloof Δλ naar hogere kosten geldt:

Dus:

Bij gelijke individuele maten is Mλ evenredig aan het aantal minima kλ. Zijn alleen deze minima opgenomen, dan is de telregel exact. Zijn hogere toestanden aanwezig, dan is zij een asymptotische benadering, geen algemene formule bij eindige ε.

De bruikbare conclusie is: bij gelijke minimale kosten, gelijke maten per toestand, gelijke macro-basismaten en verwaarloosbare bijdragen boven het minimum, weegt de klasse met meer minima zwaarder. Dat is nog geen mechanisme dat de vacua eerst gelijk in energie maakt, hun energie op nul vastlegt, of de koppelingen laat evolueren naar zo'n punt.

#Controle A: één breed minimum verslaat twee smalle

Neem dimensieloze x en maat dx. Model A bestaat uit twee disjuncte kopieën van de reële lijn, ieder met S(x) = 100x²/2. Model B bestaat uit één kopie met S(x) = x²/2. Alle minima hebben kosten nul. De Gauss-integralen geven exact:

Bij gelijke macro-basismaten weegt één breed minimum vijfmaal zwaarder dan twee smalle minima. Dit weerlegt niet de discrete telstelling: het laat zien dat “gelijke maat per minimum” bij continue landschappen aanvullende inhoud heeft. Ook de omgeving van elk minimum telt mee.

Meer algemeen leveren geïsoleerde, niet-ontaarde minima in dezelfde dimensie d bij kleine ε de volgende Laplace-benadering, mits de maat daar voldoende regelmatig is en de integraal door de omgevingen van deze minima wordt gedomineerd:

H is de positieve Hessiaan van S en ρ de maatdichtheid. Vlakke richtingen of continue verzamelingen minima vragen een andere behandeling. Alleen k tellen is dan onvoldoende.

#Controle B: het punt met gelijke minima kan juist ongunstig zijn

Neem twee toestanden met positieve kosten:

Bij λ = 0 zijn beide minima gelijk. Toch:

F heeft zijn maximum bij λ = 0. Bij een vlakke macro-maat is daar de kansdichtheid het kleinst. Voor ε = 0,5 is de dichtheid aan de uiteinden 3,762 maal zo groot.

Dit voorbeeld schendt bewust de voorwaarde dat Smin onafhankelijk is van λ. Het weerlegt daarom niet de conditionele formule hierboven. Het toont waarom die voorwaarde fysisch moet worden afgeleid voordat de formule als MPP-mechanisme kan dienen.

Voor een vaste eindige verzameling met vaste positieve maten:

Dat minimum kan 3 zijn of ieder ander getal. ε → 0 betekent niet nul effort, nul weerstand of het filosofische nulpunt. Ook “minimaal voldoende structuur” volgt alleen als S die structuur daadwerkelijk meet. Een niet-scherpe ondergrens hoeft evenmin te worden verzadigd.

Bij gelijke minima kan de multipliciteit zichtbaar blijven in de kansen, terwijl zij uit de limietwaarde van F verdwijnt. Voor twee minima van kost 3 tegenover één:

Alleen de limietwaarde van F bekijken verliest dus informatie. Bij oneindige systemen zijn bovendien de maat, groei van toestandsaantallen en volgorde van limieten van belang, bijvoorbeeld bij exponentiële groei van het aantal toestanden met systeemgrootte N. Onder passende hypotheses kan de vrije-energiedichtheid dan de vorm \(f(\varepsilon)=\inf_e[e-\varepsilon s(e)]\) krijgen, met s de entropiedichtheid. De limieten \(\varepsilon\to0\) en \(N\to\infty\) mogen niet ongemerkt worden verwisseld.

Een positieve, niet-triviale gewichtsfunctie die bij onafhankelijke samenstelling vermenigvuldigt en aan passende regulariteit voldoet, heeft een exponentiële vorm. De dalende keuze e^(−S/ε) vereist daarnaast dat hogere S minder gewicht krijgt. De additieve kosten en onafhankelijkheid zijn hypotheses die per toepassing moeten worden verantwoord.

Voor onafhankelijke systemen met additieve kosten, productmaat en dezelfde ε volgt exact:

Er is ook een precieze vorm van consistente herbeschrijving. Voor een disjuncte indeling in blokken Bⱼ definieer:

Dan geldt, met de maat al opgenomen in Fⱼ:

Eerst bundelen en daarna wegen geeft hetzelfde totaal als rechtstreeks wegen. Dit volgt uit de associativiteit van optellen; het is een controleerbare consistentie-eis, geen nieuwe natuurwet.

“EEML(EEML) = EEML” blijft voorlopig een programma, geen gedefinieerde wiskundige fixpuntvergelijking. Er ontbreekt een operator met domein en een betekenis van gelijkheid. De bruikbare zelftoepassingsregel luidt:

Pas ook op EEML zelf consistentiecontrole, ablatie en het verwijderen van aantoonbaar overbodige aannames toe. Verander daarbij niet ongemerkt het effect dat moet worden verklaard.

De positieve telregel is evenmin automatisch een quantumregel. Coherente alternatieven vragen optelling van amplitudes en kunnen elkaar uitdoven. Born en de fysische keuze van een coherente of positieve weging blijven aanvullende structuur.

Een gewicht zegt niet hoe snel een toestand bereikt wordt, welke barrières onderweg liggen, of er een netto stroom is. Zelfs dezelfde stationaire verdeling bepaalt die stroom niet.

Controle op een ring met drie toestanden:

In beide modellen vinden gebeurtenissen plaats; nul netto stroom is geen afwezigheid van gebeurtenissen. Het statistische landschap is hetzelfde, het proces verschilt. Deze Markov-modellen zijn wiskundige tegenvoorbeelden, geen thermodynamische verklaring van de aandrijving.

Daarom blijft de procesgedachte van EEML expliciet behouden: bereikbaarheid, overgangssnelheden, geheugen, aanpassing en aandrijving moeten worden toegevoegd of afgeleid. Een statische som over mogelijkheden vervangt die laag niet.